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अनुदेश

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ज्यामिति की समस्या को हल करने के लिए, किस स्थिति मेंकेवल परिधि और कोण हैं? बेशक, अगर हम एक तीव्र-त्रिकोण या बहुभुज के बारे में बात कर रहे हैं, तो किसी एक पक्ष की लंबाई को जानने के बिना ऐसी समस्या हल नहीं की जा सकती। हालांकि, अगर यह एक आयताकार त्रिकोण या आयताकार है, तो आप दिए गए परिधि से उसके पक्ष पा सकते हैं। आयत में है लंबाई और चौड़ाई। यदि आप एक आयत का एक विकर्ण बनाते हैं, तो आप कर सकते हैंपता लगाएं कि यह आयताकार दो आयताकार त्रिकोणों में विभाजित करता है। विकर्ण एक कर्ण का है, और लंबाई और चौड़ाई इन त्रिकोणों के पैरों हैं। एक वर्ग में, जो आयताकार का एक विशिष्ट मामला है, विकर्ण एक आयताकार समद्विबाहु त्रिकोण का कर्ण है।

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मान लीजिए कि एक आयताकार हैत्रिकोण के साथ ए, बी और सी, जिसके लिए कोण का एक 30 के बराबर है, और दूसरा 60 है। आंकड़ा बताता है कि a = c * sin?, और b = c * cos?। यह जानते हुए कि त्रिभुज सहित किसी भी आकृति की परिधि, उसके सभी पक्षों के योग के बराबर है, हम: a + b + c = c * sin? C * cos + c = piz यह अभिव्यक्ति किसी एक अज्ञात पक्ष को पा सकते हैं, जो कर्ण का है त्रिकोण के लिए तो कोण कैसा है? = 30, परिवर्तन के बाद हमें मिलता है: c * sin? + C * cos? C = c / 2 + c * sqrt (3) / 2 + c = p यह निम्न प्रकार है c = 2p / [3 + sqrt (3)] साथ ही, a = c * sin? = P / [3 + sqrt (3)], बी = सी * कॉस? = पी * एसक्यूआरटी (3) / [3 + sqrt (3)]

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जैसा कि ऊपर बताया गया है, आयताकार का विकर्ण इसे दो आयताकार त्रिकोणों में 30 और 60 डिग्री के कोणों के साथ विभाजित करता है। चूंकि आयत की परिधि पी = 2 (ए + बी) है, चौड़ाई एक और लंबाई बी आयताकार पाया जा सकता है, इस तथ्य से आगे बढ़ रहा है किविकर्ण समकोण त्रिकोण के कर्ण है: एक = पी 2 बी / 2 = पी [3 sqrt (3)] / 2 [3 + sqrt (3)] ख = पी -2 ए / 2 = पी [1 + sqrt (3)] / 2 [3 + sqrt (3)] इन दोनों समीकरणों आयत की परिधि के संदर्भ में व्यक्त। उनके अनुसार लंबाई और आयत इसके विकर्णों के दौरान जिसके परिणामस्वरूप कोण के आधार पर की चौड़ाई की गणना की।

अनुदेश

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त्रिकोण का क्षेत्र खोजने के लिए उपयोग करेंसूत्रों में से एक, त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग कर, त्रिकोण के एक या अधिक कोनों के मापदंडों हैं। उदाहरण के लिए, कोण (α) और उसके घटकों के पक्ष (बी और सी) की लंबाई, क्षेत्र (एस) के नाम से जाना जाता मूल्य सूत्र एस = बी * सी * sin (α) / 2 के अनुसार निर्धारित किया जा सकता है। और कोण (α, β और γ) और बूट (ए) के एक तरफ की लंबाई की निश्चित मूल्यों के तहत सूत्र एस = a² * sin (β) * पाप (γ) का उपयोग कर सकते / (2 * sin (α))। जाना जाता त्रिज्या को छोड़कर सभी कोणों घिरा चक्र के (आर), सूत्र एस = 2 * R² * sin (α) * पाप (β) * पाप (γ) का उपयोग करते हैं।

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अगर कोण ज्ञात नहीं हैं, तो इसके लिएएक त्रिकोण के क्षेत्र खोजने त्रिकोणमितीय क्रियाओं के एक सूत्र के बिना इस्तेमाल किया जा सकता। उदाहरण के लिए, अगर हम ऊंचाई (एच) की ओर, जिसकी लंबाई भी जाना जाता है (ए) से तैयार पता है, तो सूत्र एस = एक * एच / 2 का उपयोग करें। और अगर प्रत्येक पक्ष (ए, बी और सी), पहली बात अर्द्धपरिधि p = (ए + बी + सी) / 2, और फिर सूत्र एस = √ (पी * (पी ए) का उपयोग कर एक त्रिकोण के क्षेत्रफल की गणना * की लंबाई को देखते हुए (पी में) * (पी सी))। (ए, बी और सी) के अलावा अन्य भुजाओं की लम्बाई, घिरा चक्र के नाम से जाना जाता त्रिज्या (R), तो सूत्र एस = एक * बी * सी / (4 * आर) का उपयोग करते हैं।

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एक आयताकार क्षेत्र का पता लगाने के लिए, आप भी कर सकते हैंत्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करें - उदाहरण के लिए, यदि आप इसकी विकर्ण (सी) की लंबाई और कोण के मूल्य को जानते हैं जो यह एक तरफ (α) बना देता है इस मामले में, सूत्र S = C² * sin (α) * cos (α) का उपयोग करें। और यदि आप विकर्णों की लंबाई (सी) और वे कोण (α) बनाते हैं, तो सूत्र S = C² * sin (α) / 2 का उपयोग करें

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खोजने में त्रिकोणमितीय कार्यों के बिनाआयत के वर्ग के साथ तिरस्कृत किया जा सकता है, यदि इसके सीधा पक्ष (ए और बी) की लंबाई जाना जाता है, तो कोई सूत्र S = A * B को लागू कर सकता है। और अगर परिधि (पी) की लंबाई और एक तरफ (ए) दी गई है, तो सूत्र = ए (ए 2) = 2 (पी -2 ए) / 2 का उपयोग करें

आपको आवश्यकता होगी

• - कैलकुलेटर;
• - कागज और एक पेंसिल की शीट

अनुदेश

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याद रखें कि एक लाभांश, विभाजक और भागफल क्या हैं I पहला पद एक संख्या को दर्शाता है जो कि दूसरे के द्वारा विभाज्य है विभाजित संख्या को विभाजक कहा जाता है, और परिणाम को भागफल कहा जाता है कई उदाहरणों में, अभी भी एक अवशेष है यह बनता है यदि लाभांश विभाजक का एक बहुमत नहीं है, लेकिन साधारण या दशमलव भिन्न के साथ कार्रवाई करने के लिए आवश्यक नहीं है।

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एक्स के रूप में अज्ञात लाभांश लेबल ज्ञात डेटा को संख्याओं या वर्णानुक्रमिक वर्णों से या तो लिखा जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, कोई कार्य इस तरह दिख सकता है: x: a = b इस मामले में, ए और बी पूर्णांक और आंशिक दोनों, कोई भी संख्या हो सकती है। एक पूर्णांक के रूप में निजी का मतलब है कि विभाजन शेष बिना किया जाता है। लाभांश प्राप्त करने के लिए, विभाजक द्वारा भागफल को गुणा करें सूत्र इस तरह दिखाई देगा: x = a * b

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यदि विभाजक या भागफल पूर्णांक नहीं है,साधारण और दशमलव भागों को गुणा करने की विलक्षणता याद रखें पहले मामले में, संख्यात्मक और निगोशिएटर गुणा किया जाता है। यदि एक संख्या पूर्णांक है और दूसरा एक साधारण अंश है, तो दूसरे के अंश को पहली बार गुणा किया जाता है। दशकों को पूर्णांक के रूप में ठीक उसी तरह से गुणा किया जाता है, लेकिन अल्पविराम के दाईं ओर अंकों की संख्या को समझाया जाता है, अंतिम शून्य को ध्यान में रखा जाता है।

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आप मिल सकते हैं और एक उदाहरण, जब एक निजीएक पूर्णांक के साथ लिखा है, लेकिन शेष के साथ सूत्र इस तरह दिखता है: x: a = b (aust.c)। याद रखें कि अवशेष क्या है और यह कैसे बनता है। उदाहरण के लिए, आपको 15 विभाजित 4 की आवश्यकता है। आपको दो परिणाम मिल सकते हैं। पहले मामले में, निजी मामले में, हमें 3 ¾ या 3.75 मिलता है। दूसरे उदाहरण में यह इस तरह दिखता है: 15: 4 = 3 (ost.3)। मान लीजिए कि आप लाभांश को नहीं जानते हैं, और उदाहरण x: 4 = 3 (बायां 3) जैसा दिखता है। सबसे पहले, शेष पर ध्यान न दें भाजक से अंश को गुणा करें, जैसे पहले मामले में। इस मामले में, आपको 3 * 4 = 12 मिलेगा। परिणाम के लिए बाकी 3: 12 + 3 = 15 जोड़ें

आपको आवश्यकता होगी

• - एक आयत;
• - शासक;
• - एक पेंसिल;
• - कैंची

अनुदेश

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एक आयत एक ज्यामितीय आकृति है, जिसमें सभी चार कोने सीधे होते हैं, और पक्षों की जोड़ी एक दूसरे के समानांतर होती है। विपरीत पक्ष आयत अपने बीच की लंबाई के साथ समान हैं, और जोड़े के बीच - अलग-अलग यह वर्ग पिछले आंकड़े से अलग है, क्योंकि इसमें सभी चार पक्ष समान हैं।

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बनाने के लिए वर्ग से आयत, आप एक शासक और एक पेंसिल का उपयोग कर सकते हैं उदाहरण के लिए, दलों आयत 30 सेमी (लंबाई) और 20 सेमी (चौड़ाई) के बराबर हैं। तो वर्ग एक छोटे मूल्य के साथ पक्ष होंगे, जो कि 20 सेमी है। शीर्ष लंबे पक्ष के उपाय आयत 20 सेमी। एक ही कार्य करें, लेकिन केवल नीचे के साथ। शासक का उपयोग करके परिणामी अंक कनेक्ट करें यदि आवश्यक हो, तो अधिक से अधिक काट लें, परिणामस्वरूप में वर्ग पक्षों के साथ 20 सेमी

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बनाना वर्ग से आयत भले ही कोई नहीं होआरेखण सामान अपने सामने एक आयताकार रखो और अपने दाहिने कोणों (यह किसी भी कोण हो सकता है) कड़ाई से आधा में मोड़ो। यदि आप परिणामी आकार को लंबे पक्ष में डालते हैं, तो एक आयताकार ट्रेपोज़ाइड होगा, जो त्रिकोण का एक और त्रिकोण होगा आयत। परिणामी आयताकार को त्रिभुज पर मोड़ो(उत्तरार्द्ध मुड़ा हुआ कागज के कारण दोगुनी हो जाएगा), अपनी उंगलियों के साथ चिकनी और कट या धीरे से इसे फाड़ दें। कागज का विस्तार करें, जो स्वयं का प्रतिनिधित्व करेगा वर्ग। छोटे शेष से आयत आप प्राप्त कर सकते हैं वर्ग, केवल एक छोटा सा आकार तरीकों को वही उपयोग करने की अनुमति है

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एक आयताकार थोड़ा भिन्न हो सकता हैआयाम, उदाहरण के लिए, 40x20 सेमी, अर्थात्, लंबाई वास्तव में 2 गुना चौड़ाई है। इस मामले में, एक शासक लेते हैं और 20 सेमी (ऊपर और नीचे) के लंबे पक्ष पर उपाय करते हैं, आधा अंक प्राप्त और विभाजित करते हैं। दो समान होंगे वर्गएक। अगर यह भरोसेमंद रूप से ज्ञात है कि एक आयत में लंबाई और चौड़ाई (2: 1) का ऐसा अनुपात, तो दो बार ज्यामितीय आंकड़ा गुना, और फिर इसे काट लें वैसे, यह सुनिश्चित करने के लिए कि अनुपात वास्तव में 2: 1 किसी शासक के बिना, यह किसी भी कोण के लिए है आयत आधा में गुना फिर एक ही क्रिया करने के लिए, लेकिन केवल दूसरी तरफ (पहले कोने में सममित)। अगर, इन सभी जोड़ों के परिणामस्वरूप, एक आयताकार त्रिभुज निकला, तो पक्षों का अनुपात वास्तव में 2: 1 है।

आपको आवश्यकता होगी

• -lineyka;
• - एक पेंसिल;
• -kalkulyator।

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1

एक आयत एक चौगुनी है जिसकासभी कोणों 90 डिग्री कर रहे हैं। इसके आयाम पक्षों की लंबाई से निर्धारित होते हैं। यह कई गुण है: - विरोध करने भुजाएं बराबर और के समानांतर हैं - विकर्ण बराबर हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु द्विभाजित, - यह दो बराबर आयताकार त्रिकोण में विभाजित किया जा सकता है, आयत -vokrug एक चक्र का वर्णन कर सकते हैं, इसके व्यास इसके विकर्ण की लम्बाई के बराबर है।

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आयत का क्षेत्रफल हैएक कोने से संबंधित पार्टियों का उत्पाद यह लैटिन अक्षर एस द्वारा दर्शाया जाता है। अगर लंबाई-लंबाई और बी-चौड़ाई के साथ एक आयताकार होता है, तो क्षेत्र सूत्र का रूप है: S = a × b यह सबसे आम और प्रारंभिक सूत्र है।

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यदि आपके पास इसके बारे में डेटा है तो आप क्षेत्र को ढूंढ सकते हैंपरिधि। एक आयत का परिधि दो से गुणा करके अपने पक्षों के योग के बराबर है: पी = (ए + बी) × 2 यदि समस्या में यह ज्ञात है और एक तरफ है, तो हमें निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करना चाहिए: S = a × ((P-2a) / 2)

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आप क्षेत्र की गणना का भी उपयोग कर सकते हैंसही त्रिकोण यह अपने पैरों के आधे हिस्से के उत्पाद के बराबर है हाइपोटिन्यूज एक आयताकार का एक विकर्ण होगा, और पैर पक्षों की ओर होगा अपने क्षेत्र को खोजने के लिए, प्राप्त मूल्य को दो से गुणा करना आवश्यक है। यह विकल्प उन लोगों के लिए उपयुक्त है जो त्रिकोण के क्षेत्र को कैसे खोजते हैं।

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खोजने के लिए क्षेत्र शामिल किया जा सकता है औरत्रिकोणमितीय कार्य विकर्ण सूत्र द्वारा पाये जा सकते हैं: d = √ (a2 + b2)। विकर्णों के बीच के कोण इस प्रकार हैं: α = 2arctg (a / b), β = 2arctg (b / a), α + β = 180 ° यदि विकर्णों की लंबाई और उन दोनों के बीच का कोण जाना जाता है, तो क्षेत्र सूत्र द्वारा दिया जाता है: S = d2 • पाप (α / 2) • कॉस (α / 2)।

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यदि आयताकार एक वृत्त में अंकित है, तो इसका विकर्ण इस चक्र के त्रिज्या के बराबर होगा। और इस क्षेत्र को निम्नानुसार पाया जा सकता है: S = a × √ (आर ^ 2-ए ^ 2)

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एक चतुर्भुज जिसमें सभी पक्ष समान होते हैं उसे एक वर्ग कहा जाता है। इसका क्षेत्रफल स्क्वायर में अपनी तरफ की लंबाई के बराबर है। आप इसे अपनी विकर्ण का वर्ग दो से विभाजित कर सकते हैं।

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क्षेत्र की गणना करने का सबसे आसान तरीका आयत (एस) प्रारंभिक स्थितियों की लंबाई (एच) और आंकड़े की चौड़ाई (डब्ल्यू) के बारे में जानकारी देते हैं। पैरामीटर के इस सेट के साथ, बस उन्हें गुणा करें: S = W * H।

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थोड़ा और अधिक मुश्किल क्षेत्र (एस) की गणना हैयह आंकड़ा, यदि अपने पक्षों में से केवल एक (डब्लू) की लंबाई, साथ ही किसी भी विकर्ण (डी) के रूप में जाना जाता है। परिभाषा के अनुसार, आयताकार के दोनों विकर्ण समान होते हैं, इसलिए क्षेत्र की गणना करने के लिए, एक ज्ञात लंबाई और एक विकर्ण की ओर से बना त्रिकोण पर विचार करें। यह एक सही कोण वाले त्रिभुज है जिसमें विकर्ण हाइपोटिन्यूज़ है, और तरफ लेग है लापता पक्ष की लंबाई की गणना करने के लिए पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करें और सूत्र को पहले चरण में वर्णित करने के लिए कम करें। यह प्रमेय से है कि अज्ञात पैर की लंबाई विकर्ण और ज्ञात तरफ की लंबाई के बीच अंतर के वर्गमूल के बराबर होना चाहिए। आयत की लंबाई के बजाय पहले चरण से सूत्र में इस मान की जगह दें और आपको सूत्र S = W * √ (D²-W²) मिलता है।

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एक और अधिक जटिल मामला क्षेत्र की गणना हैएक दो आयामी अंतरिक्ष में इसके ऊपरी भाग के निर्देशांक द्वारा दी गई आयत इस समस्या का हल पहला चरण से सूत्र में कम किया जा सकता है - इसके लिए आपको आंकड़े के दो आसन्न पक्षों की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है। उनमें से प्रत्येक के लिए मान की गणना पक्षों द्वारा गठित त्रिकोण और abscissas और निर्देशांक के अक्ष पर उसके अनुमानों पर कर के आधार पर की जा सकती है। इनमें से प्रत्येक त्रिभुज आयताकार होगा, पक्ष ही इसकी कर्ण पर होगा, और पैरों के दोनों अनुमानों के अनुसार होगा। एक ही पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके, दोनों पक्षों के वांछित मूल्य की गणना करें।

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मान लें कि एक आयताकार के दो पक्षएक आम बिंदु (अर्थात इसकी लंबाई और चौड़ाई) तीन बिंदुओं (X₁, Y₁), बी (X₂, Y₂) और सी (X₃, Y₃) के निर्देशांक द्वारा दी गई है। चौथे बिंदु पर विचार नहीं किया जा सकता है - इसके निर्देशांक चित्रा के क्षेत्र को प्रभावित नहीं करते हैं। Abscissa अक्ष पर पार्श्व एबी के प्रक्षेपण की लंबाई इन बिंदुओं (X₂-X₁) के इसी निर्देशांक के अंतर के बराबर होगी। इसी प्रकार, ऑर्नेट अक्ष पर प्रक्षेपण की लंबाई निर्धारित की जाती है: Y-Y₁ तो हाथ की लंबाई, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार इन मात्रा के वर्गों का योग का वर्गमूल के रूप में, पाया जा सकता है: √ ((X₂-X₁) ² + (Y₂-Y₁) ²)। बीसी के पक्ष के लिए एक समान फार्मूला बनायें: √ ((एक्स-एक्स) ² + (य्-य्) ²)। भाव पहला कदम के सूत्र में चौड़ाई और आयत की ऊंचाई के लिए प्राप्त स्थानापन्न: एस = √ ((X₂-X₁) ² + (Y₂-Y₁) ²) * √ ((X₃-X₂) ² + (Y₃-Y₂) ²)।

अनुदेश

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यह स्पष्ट करने के लायक है कि इसका मतलब यहां क्या हैएक एंटीमीविटेटिव रूट जिसका मॉड्यूल एन एक नंबर जी है, जैसे कि इस नंबर के सभी शक्तियों को मॉडुलो एन के सभी अपेक्षाकृत प्राइम से एन नंबर पर ले लिया जाता है। गणितीय रूप से, यह निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है: यदि जी एक आदिम रूट मोडुलो एन है, तो किसी भी पूर्णांक के लिए जैसे कि जीसीडी (ए, एन) = 1, वहाँ एक नंबर कश्मीर है जैसे g ^ k ≡ a (mod n)।

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पिछले चरण में, एक प्रमेय थायह दर्शाता है कि यदि सबसे छोटी संख्या k जिसके लिए g ^ k ≡ 1 (mod n) बराबर Φ (n) होता है, तो g आदिम रूट होता है इसलिए यह स्पष्ट है कि कश्मीर जी के एक एक्सपोनेंट है। किसी भी एक के लिए, यूलर के प्रमेय- एक ^ (Φ (n)) ≡ 1 (आधुनिक n) धारण करता है - इसलिए, यह सत्यापित करने के लिए कि जी एक आदिम जड़ है, यह सत्यापित करने के लिए पर्याप्त है कि सभी कम Φ (n) संख्याओं के लिए d, g ^ d ≢ 1 (आधुनिक एन) हालांकि, यह एल्गोरिथ्म धीमा है।

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Lagrange प्रमेय से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैंकिसी भी संख्या का एक्सपोनेंट, मॉडुलो एन, विभाजक Φ (एन) है। यह कार्य सरल करता है यह सत्यापित करने के लिए पर्याप्त है कि सभी उचित विभाजनकर्ताओं के लिए डी। | Φ (एन), हमारे पास g ^ d ≢ 1 (mod n) है यह एल्गोरिदम पिछले एक से बहुत तेज है।

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संख्या Φ (n) = p_1 ^ (a_1) ... अनुमानित करें p_s ^ (a_s)। यह साबित करें कि पिछले चरण में वर्णित एल्गोरिथ्म में, डी के रूप में निम्न स्वरूपों के केवल संख्याओं पर विचार करने के लिए पर्याप्त है: Φ (n) / p_i दरअसल, चलो एक मनमाने ढंग से उचित विभाजक Φ (एन) हो। फिर, जाहिर है, वहाँ एक जे है कि डी | Φ (n) / p_j, वह है, d * k = Φ (n) / p_j

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लेकिन अगर g ^ d ≡ 1 (mod n), तो हमारे पास होगाg ^ (Φ (n) / p_j) ≡ जी ^ (d * k) ≡ (g ^ d) ^ के ≡ 1 ^ के ≡ 1 (mod n)। यही है, यह पता चला है कि फार्म Φ (एन) / पी_ज की संख्या के बीच एक ऐसा होगा जिसके लिए स्थिति पूरी नहीं होगी, जो वास्तव में साबित होनी थी।

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एंटीमीविटिव रूट को खोजने के लिए एल्गोरिथ्म, जैसेरास्ता, यह इस तरह दिखेगा सबसे पहले Φ (एन) है, फिर यह कारक है। सभी नंबरों के बाद जी = 1 ... n सॉर्ट किया जाता है, और उनमें से प्रत्येक के लिए सभी मान Φ (n) / p_i (mod n) माना जाता है। यदि, वर्तमान जी के लिए, ये सभी नंबर एक से भिन्न होते हैं, यह जी है और वांछित आदिम रूट है।

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यदि हम मानते हैं कि संख्या Φ (n) में ओ (लॉग Φ (n)) है,और exponentiation एक द्विआधारी exponentiation एल्गोरिथ्म का उपयोग किया जाता है, अर्थात, हे (लॉग ⁡n), आप एल्गोरिथ्म के चलने का समय पता लगा सकते हैं। और यह भी ओ (उत्तर * लॉग ⁡Φ (n) * log⁡n) + टी यहाँ, टी संख्या Φ (n) का फर्कराइज़ेशन समय है, और उत्तर इसका परिणाम है, अर्थात, आदिम रूट का मूल्य।

आयत के क्षेत्र की गणना कैसे करें

उदाहरण गणना