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• विश्लेषणात्मक ज्यामिति का ज्ञान बीजगणित का मूल ज्ञान

अनुदेश

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एक सीधी रेखा का समीकरण दो बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा दिया गया हैएक विमान, जिसके माध्यम से इस लाइन से गुजरना होगा। इन समन्वय अंक के अनुपात के रूप में। (एक्स-x1) / (x2-x1) = (y-y1) (y2-y1): मान लीजिए कि पहला बिंदु निर्देशांक (x1, y1), और दूसरा (x2, y2) है, तो रेखा का समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है।

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हम परिणामस्वरूप समीकरण को सीधी रेखा में बदलते हैं और x के संदर्भ में स्पष्ट रूप से व्यक्त करते हैं। इस ऑपरेशन के बाद, सीधी रेखा का समीकरण अंतिम रूप लेगा: y = (x-x1) / ((x2-x1) * (y2-y1)) + y1

अनुदेश

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इस आंकड़े में, हमने अंक ए और बी को चुना है। अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन के अंक चुनना सुविधाजनक है। लाइन को इंगित करने के लिए दो बिंदुएं पर्याप्त हैं

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चयनित अंक के निर्देशांक खोजें। ऐसा करने के लिए, निर्देशांक अक्षों पर अंक से लंबवत घटें और पैमाने से संख्या लिखिए। तो हमारे उदाहरण से बिंदु बी के लिए, समन्वय x है -2, और समन्वय y 0 है। इसी प्रकार, बिंदु ए के लिए, निर्देशांक (2; 3) हैं।

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यह ज्ञात है कि समीकरण सीधे फार्म y = kx + b है हम में विकल्प समीकरण सामान्य रूप में, चयनित बिंदुओं के निर्देशांक, फिर बिंदु A के लिए हम प्राप्त करते हैं समीकरण: 3 = 2 के + बी बिंदु बी के लिए हमें दूसरा मिलता है समीकरण: 0 = -2 क + बी। जाहिर है, हमारे पास दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली है: k और b

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इसके बाद, हम सिस्टम को किसी भी सुविधाजनक तरीके से हल करते हैं हमारे मामले में, हम सिस्टम के समीकरण जोड़ सकते हैं, क्योंकि अज्ञात कश्मीर गुणांक के साथ दोनों समीकरणों में प्रवेश करती है जो पूर्ण मूल्य में समान हैं, लेकिन संकेत के विपरीत। तो हमें 3 + 0 = 2k - 2k + b + b या, जो वही है: 3 = 2b इस प्रकार, बी = 3/2 हम कश्मीर को खोजने के लिए किसी भी समीकरणों में से किसी भी बी के पाया गया मूल्य का स्थान लेते हैं। तब 0 = -2 k + 3/2, k = 3/4

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हम में पाया कश्मीर और बी में जगह समीकरण सामान्य रूप और वांछित प्राप्त समीकरण सीधे: y = 3x / 4 + 3/2

अनुदेश

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परबोला एक वक्र है जोइसका आकार एक चाप जैसा दिखता है और पावर फ़ंक्शन का एक ग्राफ है। पैराबॉला की विशेषताओं के बावजूद, यह फ़ंक्शन भी यहां तक ​​कि। एक भी समारोह को एक भी समारोह कहा जाता है जिसका मूल्य परिभाषा के डोमेन से तर्क के सभी मूल्यों के लिए नहीं बदलता है जब तर्क बदल जाता है: f (-x) = f (x) सबसे सरल कार्य से प्रारंभ करें: y = x ^ 2 अपने रूप से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह तर्क x के सकारात्मक और नकारात्मक मूल्यों के लिए दोनों बढ़ाता है। बिंदु जिस पर x = 0, और इस मामले में, y = 0 फ़ंक्शन के न्यूनतम बिंदु माना जाता है।

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नीचे इमारत के लिए सभी मुख्य विकल्प हैंयह समारोह और इसके समीकरण पहला उदाहरण के रूप में, हम एक फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के बारे में सोचते हैं: f (x) = x ^ 2 + a, जहां एक पूर्णांक है। किसी दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ को साजिश करने के लिए, इकाइयों द्वारा फ़ंक्शन एफ (एक्स) के ग्राफ को बदलने के लिए आवश्यक है। एक उदाहरण फंक्शन y = x ^ 2 + 3 है, जहां y-axis पर फ़ंक्शन को दो यूनिट्स द्वारा ऊपर स्थानांतरित किया जाता है। अगर विपरीत चिह्न के साथ एक फ़ंक्शन दिया जाता है, उदाहरण के लिए, y = x ^ 2-3, तब इसका ग्राफ y अक्ष के साथ नीचे स्थानांतरित हो जाता है।

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एक अन्य प्रकार का फ़ंक्शन जिसे निर्दिष्ट किया जा सकता हैपैराबोला च (एक्स) = (एक्स + ए) ^ 2 है। ऐसे मामलों में, ग्राफ, इसके विपरीत, एक इकाइयों द्वारा अफ्सीजा (एक्स-अक्ष) के साथ बदलाव करता है। उदाहरण के लिए, हम कार्यों पर विचार कर सकते हैं: y = (x +4) ^ 2 और y = (x-4) ^ 2 पहले मामले में, जहां प्लस चिह्न के साथ एक फ़ंक्शन मौजूद है, ग्राफ़ को एक्स अक्ष के साथ बाईं तरफ स्थानांतरित किया जाता है, और दूसरे मामले में दाहिनी ओर। इन सभी मामलों को आंकड़े में दिखाया गया है।

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वाई = एक्स ^ 4 के फार्म के परवलयिक संबंध भी हैं ऐसे मामलों में, x = const, और y तेजी से बढ़ जाती है। हालांकि, यह केवल कार्य करने के लिए भी लागू होता है परवलय अक्सर शारीरिक समस्याओं में मौजूद होते हैं, उदाहरण के लिए, शरीर की उड़ान एक पंक्ति का वर्णन करती है जो परोबाला के समान होती है। इसके अलावा देखें परवलय हेडलाम्प के प्रतिक्षेपक का एक अनुदैर्ध्य अनुभाग है, लालटेन। एक sinusoid के विपरीत, यह ग्राफ गैर आवधिक और बढ़ रही है।

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ज्यामिति में किसी भी निर्माण का आधार अवधारणा हैअंतरिक्ष में दो बिंदुओं के बीच की दूरी एक सीधी रेखा इस दूरी के समानांतर रेखा है, और यह रेखा अनंत है। दो बिंदुओं के माध्यम से, आप केवल एक सीधी रेखा खींच सकते हैं

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ग्राफिक रूप से, रेखा को असीमित सिरों के साथ एक पंक्ति के रूप में दर्शाया जाता है डायरेक्ट को पूरे के रूप में चित्रित नहीं किया जा सकता है हालांकि, इस स्वीकृत योजनाबद्ध छवि का अर्थ है देखभाल सीधे दोनों दिशाओं में अनन्तता के लिए सीधी रेखा को ग्राफ में लोअरकेस लैटिन अक्षर में दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए, ए या सी।

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विमान में विश्लेषणात्मक रेखा दी गई है समीकरणपहली डिग्री के मीटर, अंतरिक्ष में - समीकरणों की एक प्रणाली सामान्य, सामान्य, पैरामीट्रिक, वेक्टर-पैरामीट्रिक, स्पर्शरेखा, वैमाणिक समीकरण हैं सीधे कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के माध्यम से

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कैनोनिकल समीकरण सीधे पैरामीट्रिक समीकरणों की प्रणाली से। पैरामीट्रिक समीकरण सीधे निम्न रूप में लिखा गया है: एक्स = x_0 + a * t; y = y_0 + b * t

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इस प्रणाली में निम्नलिखित नोटिशन स्वीकार किए जाते हैं: - x_0 और y_0 कुछ बिंदु एनडीए के निर्देशांक हैं सीधे; - ए और बी निर्देशक वेक्टर के निर्देशांक हैं सीधे (स्वामित्व या इसके समानांतर); - एक्स और वाई एक मनमाना बिंदु एन के निर्देशांक हैं सीधे, जहां वेक्टर N_0N दिशा वेक्टर के साथ समरेखिक है सीधे; टी एक पैरामीटर जिसका मूल्य हैबिंदु N_0 एन करने के लिए प्रारंभिक बिंदु से दूरी के लिए आनुपातिक (यह पैरामीटर के भौतिक अर्थ - दिशा वेक्टर साथ सीधा गति के समय बिंदु एन, जैसे कि, t = 0 पर, बिंदु एन N_0 बिंदु के साथ मेल खाता)।

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इस प्रकार, कैनोनिकल समीकरण सीधे पैरामीटर पर पैरामीटर को एक पैरामीटर t: (x - x_0) / (y - y_0) = a / b को नष्ट करके दूसरे में विभाजित करके प्राप्त किया जाता है: से (x - x_0) / a = (y - y_0) / बी

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कैनोनिकल समीकरण सीधे अंतरिक्ष तीन निर्देशांक द्वारा परिभाषित किया गया है, इस प्रकार में: - / एक = (y - y_0) / b = (जेड - z_0) (x_0 x) / ग, जहां सी - applicate दिशा वेक्टर। इस मामले में, एक ^ 2 + b ^ 2 + स ^ 2? 0।

अनुदेश

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अंतरिक्ष में दो पंक्तियों को कैनोनिकल समीकरणों द्वारा दिया जाना चाहिए: (x-x1) / q1 = (y-y1) / w1 = (z-z1) / e1; (x-x2) / q2 = (y-y2) / w2 = ( z-z2) / ई 2

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संख्याएं, डब्ल्यू और ई, denominators में प्रतिनिधित्व, इन लाइनों के लिए निर्देशक वैक्टर के निर्देशांक हैं एक गैर-शून्य वेक्टर को एक गाइड के रूप में जाना जाता है, जो इस पर स्थित है सीधे या इसके समानांतर है।

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cosλ = ± (क्यू 1 · Q2 + w1 · डब्ल्यू 2 + E1 · e2) / √ [(क्यू 1) ² + (w1) ² + (E1) ²] · [(Q2) ² + (डब्ल्यू 2: सूत्र होने सीधी रेखाओं के बीच के कोण की कोज्या ) ² + (E2) ²]।

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प्रत्यक्ष, कैनोनिकल समीकरणों द्वारा दिया गया,परस्पर लंबवत हैं यदि और केवल तभी निर्देशक वैक्टर ओर्थोगोनल हैं यही है, सीधी रेखाओं (जो निर्देशक वैक्टर के बीच का कोण होता है) के बीच का कोण 90 डिग्री है इस मामले में कोण के कोसाइन शून्य है। चूंकि कोसाइन को एक अंश से व्यक्त किया गया है, शून्य की इसकी समानता शून्य दशमलव के बराबर है। निर्देशांक में इसे q1 · q2 + w1 · w2 + e1 · e2 = 0 के रूप में लिखा जाएगा।

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विमान में सीधी रेखाओं के लिए, तर्क की श्रृंखला समान दिखती है, लेकिन सीधापन की स्थिति थोड़ा अधिक सरल हो जाएगी: q1 · q2 + w1 · w2 = 0, क्योंकि तीसरे निर्देशांक अनुपस्थित है

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अब लाइनें सामान्य समीकरणों द्वारा दीजिए: J1 · x + K1 · y + L1 · z = 0; J2 · x + K2 · y + एल 2 · z = 0

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यहां, गुणक जे, के, एल सामान्य वैक्टर के निर्देशांक हैं। सामान्य यूनिट वेक्टर को लंबवत है सीधे.

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सीधी रेखाओं के बीच के कोण की कोज्या अब इस रूप में लिखा जाता है: cosλ = (J1 · J2 + K1 · के 2 + एल 1 · एल 2) / √ [(J1) ² + (K1) ² + (एल 1) ²] · [(J2) ² + (K2) ² + (एल 2) ²]।

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सामान्य विक्टर्स ओर्थोगोनल हैं जब लाइनें इस मामले में परस्पर लंबवत होती हैं। वेक्टर रूप में, क्रमशः, यह स्थिति इस तरह दिखती है: J1 · J2 + K1 · K2 + L1 · L2 = 0

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सामान्य समीकरणों द्वारा दिए गए विमान में सीधी रेखाएँ लंबवत होती हैं जब J1 · J2 + K1 · K2 = 0

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• कागज की एक शीट, एक बॉलपेप पेन

अनुदेश

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विमान पर दो निश्चित बिंदुओं एफ 1 और एफ 2 सेट करें अंकों के बीच की दूरी कुछ निश्चित मान F1F2 = 2c के बराबर होगी।

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कागज की शीट पर एक सीधी रेखा खींचना हैधुरी के अक्ष का समन्वय करें, और अंक F2 और F1 खींचें। ये अंक एक दीर्घवृत्त के फॉसी को दर्शाते हैं। प्रत्येक फोकस बिंदु से मूल तक दूरी सी के बराबर समान मूल्य के बराबर होनी चाहिए।

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इस आर्टिक अक्ष को आकर्षित करें, इस प्रकार एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का निर्माण करें, और अंडाकार को परिभाषित करने वाला मूल समीकरण लिखें: एफ 1 एम + एफ 2 एम = 2 ए बिंदु एम अंडाकार के वर्तमान बिंदु को दर्शाता है।

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एफ 1 एम और एफ 2 एम सेगमेंट का मूल्य निर्धारित करेंपाइथागोरस प्रमेय। करने के लिए, कहते हैं, बिंदु एफ 1 बिंदु एम निर्देशांक (x + ग, y), अर्थात् है सम्मान के साथ ध्यान रखें कि बिंदु एम मूल के संबंध में वर्तमान निर्देशांक (एक्स, वाई) है, और " 'एक्स" पाली समन्वय प्राप्त कर लेता है। इस प्रकार, पाइथागोरस के प्रमेय के मामले में शर्तों में से एक परिमाण (x + ग), एक मात्रा (एक्स ग) के के वर्ग के बराबर होना चाहिए।

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वैक्टर एफ 1 एम के मॉड्यूल के लिए एक्सप्रेशंस चुनें औरअंडाकार के मूल अनुपात में एफ 2 एम और समीकरण वर्ग के दोनों किनारों को सेट करते हैं, पहले वर्ग की जड़ों में से एक को समीकरण के दायीं ओर ले जाता है और कोष्ठक खोलता है। समान शर्तों को कम करने के बाद, परिणामी अनुपात को 4 ए से विभाजित करें और इसे दूसरी पॉवर में दोबारा बढ़ाएं।

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ऐसी शर्तों को दें और "ix" चर के वर्ग के समान कारक के साथ शब्दों को जमा करें। ब्रैकेट के बाहर "Ix" चर के वर्ग को रखें।

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एक निश्चित मान का एक वर्ग लेबल (कहते हैं,बी) ए और सी के वर्गों के बीच अंतर, और इस नए मान के वर्ग द्वारा प्राप्त अभिव्यक्ति को विभाजित करें। इस प्रकार, आपने अंडाकार के कैनोनिकल समीकरण को प्राप्त किया है, बाएं हिस्से में, जिसमें अक्षरों के मूल्यों और बाएं में विभाजित निर्देशांक के वर्गों का योग - एक है।